Konsep dasar matematika

BAB I

Pendahuluan 

Latar belakang
Dalam dunia pendidikan saat ini sangat membutuhkan guru atau tenaga pendidik yang berkualitas. Apalagi pada kurikulum 2013 ini guru dituntut untuk menjadi guru yang kreatif. Terutama untuk pelajaran matematika, karena selama ini siswa selalu menganggap pelajaran matematika senagai hal yang sulit dan membosankan. Akan tetapi sebenarnya matematika adalah pelajaran yang asik dan menyenangkan. Salah satunya pada materi eksponen dan logaritma.
Materi eksponoen dan logaritma pertama kali kita dapat saat memasuki SMA kelas X dan banyak sebagian dari siswa yang menganggap eksponen dan logaritma adalah materi yang sangat sulit dan membosankan. Namun tidak demikian, sebenarnya materi eksponen dan bentuk akar sangatlah mudah apabila kita memperhatikan saat diterangkan oleh guru kita dan mau mencoba soal-soal yang diberikan akan sangatlah mudah bagi kita untuk mengerjakan eksponen dan logaritma.dalam makalah ini kerlompok kami mengajak untuk belajar materi eksponen dan logarimudah dan menyenangkan.
Rumusan masalah
Bagaimana menyelesaikan eksponen dengan mudah?
Bagaimana menyelesaikan oprasi logaritma dengan mudah?
Tujuan
Untuk memudahkan dalam memahami bentuk eksponen.
Untuk memudahkan dalam memahami logaritma.

BAB II

PEMBAHASAN

EKSPONEN

PERPANGKATAN

Definisi perpangkatan

Jika a bilangan real dan n bilangan positif lebih besar dari 1, maka an (dibaca a pangkat n) ditentukan sebagai perkalian n buah faktor a. Dalam ditentukan sebagai perkalian n buah faktor a. Dalam bentuk matematika pernyataan tersebut dapat ditulis sebagai:

an = a x a x a x a ...  x a(sebanyak n faktor). 

Dengan: an disebut bilangan berpangkat

a disebut bilangan pokok

n disebut panngkat.

Bentuk-bentuk perpangkatan

an x am = an+m

contoh:  a5 ∙ a4 = a5+4 = a9

an : am = an-m

contoh: b6 : b4 = b6-4 = b2

(an)m = an x m

Contoh: (c3)4 = c3x4 = c12

(a x b)n = an x bn

Contoh: (a ∙ b)-5 = a-5 ∙ a-5 = 1a5 ∙ 1b5 = 1a5b5

(a : b)n = an : bn

Contoh: (a : b)3 = a3 : b3

Catatan

Untuk a sembarang bilangan nyata dan a ≠ 0 berlaku: 1 = anan  = an-n  = a0

Dari sini dapat didefinisikan: a0 = 1 untuk sembarang a ≠ 0. 

Contoh: 20 = 1 

Untuk a sembarang bilangan nyata dan a ≠ 0 berlaku: a-n = a-n x anan =  a-n x an an= a-n+n  an= a0an= 1an 

Jadi, dapat didefinisikan: a-n = 1an 

Pada keterangan diatas menunjukan bahwa tiap bilangan berpangkat bulat negatif dapat di ubah menjadi kedalam bentuk bilangan berpangkat positif, juga sebaliknya.

Contoh: 3-4 =  134 

Contoh soal

Diketahui p = 16 dan w = 8, maka nilai dari (32 p3w3162p2w4)2 adalah ...

Jawab :

= (32 p3w3162p2w4)2

=(32 1638316216284)2

=(32 16∙1628316216284)2

= (32 168316284)2

= (16∙2∙16∙8316284)2

= (2 ∙838 ∙83)2

= (28)2

= 464

= 116

Sederhanakan bentuk pangkat berikut a5b2c7a2b8c7 = a5-2 b2-8 c7-7

= a3 b-6 c0

= a3∙1b6∙ 1

= a3b6

AKAR

Pengertian akar

Bilangan berpangkat pecahan sering dikaitkan dengan bentuk akar bilangan positif.

Perhatikan bentuk- bentuk berikut

32= 9 dapat dituliskan 3=9

33= 27 dapat dituliskan 3=327

34=81 dapat dituliskan 3= 481, dan seterusnya.

Secara umum dapat didefinisikan : jika a dan b bilangan nyata serta bilangan bulat, maka bn = a = b =na

Berikut ini yang perlu diperhatikan dalam penarikan akar

Jika a > 0, maka na > 0

Jika a < 0 dan  n ganjil, maka na < 0

Jika a < 0 dan n genap, maka na tidak ada nilainya.

Bentuk na  disebut bentuk akar apabila n bulat positif. Bentuk akar dapat dilambangkan dalam bentuk pangkat pecahan. Adapun hubungan bentuk akar dengan pangkat pecahan adalah sebagai berikut. 

a1/n = na dengan a bilangan nyata ( positif untuk n genap) dan n bilangan asli

Bentuk-bentuk akar

Berikut ini sifat- sifat yang digunakan untuk menyederhanakan bentuk akar

na x nb = nab 

ma  x na  = mnam+n

nab =  nanb

ma  : na = mnan-m

(na)n = a 

Menyederhanakan bentuk akar

Perkalian bentuk akar

Ketika menyederhanakan bentuk akar, kita telah menggunakan sifat a x b = (axb) dengan a dan b masing-masing bilangan positif.

Contoh soal:

6 x 8

(7 + 5) (7 - 5)

(7 + 5)2

(7 - 5)2

Merasionalkan penyebut sebuah pecahan

Pecahan berbentuk ab 

Mengubah pecahan 123 menjadi 123 33 = 4 3 dinamakan merasionalkan penyebut pecahan. Perhatikan bahwa dlam merasionalkan penyebut pecahan itu, kita mengalikan dengan 33 = 1. Dengan demikian, nilai pecahan 123 ekuivalen dengan 123 33 atau 4 3. Dari uraian tersebut, kita dapat mengambil kesimpulan sebagai berikut:

Pecahan ab (a bilangan rasional dan b merupakan bentuk akar), bagian penyebutnya dapat dirasionalkan dengan cara engalikan pecahan itu dengan bb , sehingga pecaan itu menjadi:

ab = ab x bb = abb

Contoh soal:

1218

Pecahan berbentuk ca+b atau ca-b

Dengan menggunkan sifat perkalian bentuk-betuk akar sekawan, penyebut ecahan yang berbentuk ca+b atau ca-b dapat dirasionalkan dengan melakukan manipulasi aljabar sebagai berikut.

Untuk pecahan ca+b diubah menjadi 

ca+b = ca+b x a-ba-b = c(a-b)a2-b

Untuk pecahan ca-b dapat diubah menjadi

ca-b = ca-b x a+ba+b = c(a+b)a2-b

Contoh soal:

22+1

33-2

Pecahan berbentuk ca+b atau ca-b

Penyebut pecahan yang berbentuk ca±b dapat dirasionalkan dengan menggunakan manipulasi aljabar sebagai berikut:

Untuk pecahan  ca+b pembilang dan penyebut dikalikan dengan (a-b).

Untuk pecahan ca-b pembilang dan penyebut dikalikan dengan a+b 

Contoh soal

LOGARITMA

Pengertian Logaritma

Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui. Misalnya 32 = 9 diperoleh bahwa 2 merupakan logaritma 9 dengan bilangan pokok 3, dan ditulis 2 = 3log 9.

Definisi Logaritma:

Untuk a dan b positif serta a ≠ 1 berlaku an = b <=> alog b = n.

Keterangan:

a disebut bilangan pokok, a>0 dan a ≠ 1. Jika a = 10 maka 10log x dapat ditulis log x.

b disebut numerus, b > 0

n adalah hasil logaritma. 

Contoh soal

52 = 25

Jawab 

52 = 25 ⇔5log 25 = 2 

sifat- sifat Logaritma

alog 1 = 0

contoh: 2log 1 = 0

3log 1= 0

alog a = 1

contoh: 2log 2 =1

3log 3 = 1

alog 1a = -1

contoh: 2log 12= -1

alog ab= b alog a = b.1 = b

contoh: 2log 8= 2log 23 = 3

pn .log am = mn  plog a

contoh 22. Log 46 = 62   2log 4 = 3 2log 4

alog b + alog c = alog b.c

contoh 6log 2 + 6log 3 = 6log 2.3 = 6log 6 = 1

alog b – alog c = alog bc

contoh: 3log 6 – 3log 2 = 3log 62 = 3log 3 = 1

alog bn = n. alog b 

contoh 2log 34 = 4 2log 3

alog b = clogbcloga

contoh: 3log 5 = 2log 52log3

n .nlog a = a

contoh: 2. 2log 3 = 3

alog b x b log c = alog c

contoh: 2log 4 x 4log 6 = 2log 6.

 

LATIHAN SOAL

Bentuk sederhana dari 7x3 y-4 z-684x-7 y-1 z-4 = ...

Bentuk sederhana dari 2x-1 y2 z-26x-3 y-4 z2-1 adalah ...

Jika p = 5+ 35- 3 dan q =  5- 35+ 3 , maka nilai p + q = ...

Bentuk sederhana dari 5+235-33 = ...

Nyatakan bentuk eksponen berikut ke notasi logaritma!

34 = 81

12-7 = 128

70 = 1

6-2 = 136

Nyatakan bentuk logaritma berikut ke bentuk perpangkatan!

7log49 = 2

½log256  = -8 

6log1216 = -3

3log27 = 32

Sederhanakan 2log 32 + 2log 12- 2log 6= ...

Nilai X yang memenuhi persamaan ½log ( x2 – 3 ) – ½log x = -1

Jika 2log 3= a dan 3log 5 = b, maka 15log 20= ...

Jika b= 2 log 6, maka tentukan bentuk sederhana dari 6log 4 x 2log 6 adalah ...

BAB III

PENUTUP

Kesimpulan

Dalam matematika eksponen dibagi menjadi dua, perpangkatan dan akar. Eksponen adalah Jika a bilangan real dan n bilangan positif lebih besar dari maka

an (dibaca a pangkat n) ditentukan sebagai perkalian n buah faktor a.

Bentuk-bentuk eksponen sebagai berikut,

an x am = an+m

an : am = an-m

(an)m = an x m

(a x b)n = an x bn

(a : b)n = an : bn

Adapun akar adalah Bilangan berpangkat pecahan sering dikaitkan dengan bentuk akar bilangan positif. Seperti:

32= 9 dapat dituliskan 3=9

33= 27 dapat dituliskan 3=327

34=81 dapat dituliskan 3= 481, dan seterusnya.

Kemudian Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui. Misalnya 32 = 9 diperoleh bahwa 2 merupakan logaritma 9 dengan bilangan pokok 3, dan ditulis 2 = 3log 9.